Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，AB=2

2

，M，N分別是棱CC₁，AB中點．
（Ⅰ）求證：CN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求證：CN∥平面AMB₁；
（Ⅲ）求三棱錐B₁-AMN的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題可得AA₁⊥CN且CN⊥AB又因為AA₁∩AB=A所以CN⊥平面ABB₁A_1．
（Ⅱ）由題意得CM∥NG，CM=NG所以四邊形CNGM是平行四邊形，所以CN∥MG．又因為CN?平面AMB₁，GM?平面AMB₁，所以CN∥平面AMB₁．
（Ⅲ）VB1-AMN=VM-AB1N所以先求△AB₁N的面積，由（Ⅱ）知GM⊥平面AB₁N，三棱錐的高是GM，所以根據(jù)三棱錐的體積公式可得體積為

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC
又因為CN?平面ABC，所以AA₁⊥CN．
因為AC=BC=2，N是AB中點，
所以CN⊥AB．
因為AA₁∩AB=A，
所以CN⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）證明：取AB₁的中點G，連接MG，NG，
因為N，G分別是棱AB，AB₁中點，
所以NG∥BB₁，NG=

1

2

BB1．
又因為CM∥BB₁，CM=

1

2

BB1，
所以CM∥NG，CM=NG．
所以四邊形CNGM是平行四邊形．
所以CN∥MG．
因為CN?平面AMB₁，GM?平面AMB₁，
所以CN∥平面AMB₁．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB₁N．
所以VB1-AMN=VM-AB1N=

1

3

×

1

2

×

2

×4×

2

=

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點評：證明線面垂直關鍵是證明已知直線與面內的兩條相交直線都垂直即可，證明線面平行關鍵是在平面內找到一條直線與已知直線平行；求三棱錐的體積時若不易求出一般是先觀察一下是否換一個底面積與高都容易求的定點．