Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，AB=2

2

，M，N分別是棱CC₁，AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求證：CN∥平面AMB₁；
（Ⅲ）求三棱錐B₁-AMN的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題可得AA₁⊥CN且CN⊥AB又因?yàn)锳A₁∩AB=A所以CN⊥平面ABB₁A_1．
（Ⅱ）由題意得CM∥NG，CM=NG所以四邊形CNGM是平行四邊形，所以CN∥MG．又因?yàn)镃N?平面AMB₁，GM?平面AMB₁，所以CN∥平面AMB₁．
（Ⅲ）VB1-AMN=VM-AB1N所以先求△AB₁N的面積，由（Ⅱ）知GM⊥平面AB₁N，三棱錐的高是GM，所以根據(jù)三棱錐的體積公式可得體積為

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）證明：因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC
又因?yàn)镃N?平面ABC，所以AA₁⊥CN．
因?yàn)锳C=BC=2，N是AB中點(diǎn)，
所以CN⊥AB．
因?yàn)锳A₁∩AB=A，
所以CN⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）證明：取AB₁的中點(diǎn)G，連接MG，NG，
因?yàn)镹，G分別是棱AB，AB₁中點(diǎn)，
所以NG∥BB₁，NG=

1

2

BB1．
又因?yàn)镃M∥BB₁，CM=

1

2

BB1，
所以CM∥NG，CM=NG．
所以四邊形CNGM是平行四邊形．
所以CN∥MG．
因?yàn)镃N?平面AMB₁，GM?平面AMB₁，
所以CN∥平面AMB₁．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB₁N．
所以VB1-AMN=VM-AB1N=

1

3

×

1

2

×

2

×4×

2

=

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：證明線面垂直關(guān)鍵是證明已知直線與面內(nèi)的兩條相交直線都垂直即可，證明線面平行關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行；求三棱錐的體積時(shí)若不易求出一般是先觀察一下是否換一個(gè)底面積與高都容易求的定點(diǎn)．