Question

已知f（x）=log₂

1+x

1-x

（1）判斷f（x）奇偶性并證明；
（2）判斷f（x）單調(diào)性并用單調(diào)性定義證明；
（3）若f(

1

x-3

)+f(-

1

3

)＜0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：轉(zhuǎn)化（1）求解

1+x

1-x

＞0即可．
（2）運(yùn)用單調(diào)性證明則f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

判斷符號即可．
（3）根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化-1＜

1

x-3

＜

1

3

求解．

解答： 解：（1）

1+x

1-x

＞0∴-1＜x＜1∴定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對稱      
  f(-x)=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)
∴f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)                               
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1
則f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

又-1＜x₁＜x₂＜1
∴（1+x₁）（1-x₂）-（1-x₁）（1+x₂）=2（x₁-x₂）＜0
即0＜（1+x₁）（1-x₂）＜（1-x₁）（1+x₂）
∴0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1
∴log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，
（3）∵f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)
∴f(

1

x-3

)＜-f(-

1

3

)=f(

1

3

)
又f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增
∴-1＜

1

x-3

＜

1

3

∴x＜2或x＞6，

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用求解單調(diào)性，奇偶性，解不等式等問題．