6.函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù),且f(x)>0恒成立,若對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•g(x).
(1)求f(0)的值;
(2)若f(-1)=3,解不等式$\frac{f({x}^{2})•f(10)}{f(7x)}$≤9.

分析 (1)令x=y=0,f(0)=f2(0),f(x)>0,f(0)=1;
(2)原不等式等價于f(x2)f(10)≤9f(7x )⇒f(x2)f(10)≤f(7x)f(-2)⇒f(x2+10)≤f(7x-2)又f(x)是定義在R上的減函數(shù),x2+10≥7x-2即可.

解答 解(1)令x=y=0,∴f(0)=f2(0),∵f(x)>0,∴f(0)=1,…(3分)
(2)∵f(x)>0,∴$\frac{{f({x^2})f(10)}}{f(7x)}≤9$,得f(x2)f(10)≤9f(7x),…(4分)
∵f(-1)=3,∴9=3×3=f(-1)f(-1)=f(-2),…(6分)
∴f(x2)f(10)≤f(7x)f(-2)可化為,f(x2+10)≤f(7x-2),…(8分)
又f(x)是定義在R上的減函數(shù),∴x2+10≥7x-2,…(10分)
解得,x≤3,x≥4,…(11分)
即原不等式的解集為(-∞,3]∪[4,+∞)…(12分)

點評 本題考查了抽象函數(shù)的賦值法,及抽象函數(shù)不等式的解法,關鍵是根據(jù)單調(diào)性及定義域進行轉化,屬于基礎題.

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