【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2 x+c(a,c∈R)滿足條件:①f(1)=0;②對一切x∈R,都有f(x)≥0
(1)求a、c的值;
(2)若存在實數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx在區(qū)間[m,m+2]上有最小值﹣5,求出實數(shù)m的值.

【答案】
(1)解:法一:當a=0時,f(x)=﹣ x+c.

由f(1)=0得:﹣ +c=0,即c= ,∴f(x)=﹣ x+

顯然x>1時,f(x)<0,這與條件②相矛盾,不合題意.

∴a≠0,函數(shù)f(x)=ax2 x+c是二次函數(shù).

由于對一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函數(shù)的性質可得:

,即 (*),

由f(1)=0得 a+c= ,即c= ﹣a,代入(*)得 a( ﹣a)≥

整理得 a2 a+ ≤0,即(a﹣ )2≤0.

而(a﹣ 2≥0,∴a= ,

將a= 代入(*)得,c= ,

∴a=c=

法二:當a=0時,f(x)=﹣ x+c.

由f(1)=0得﹣ +c=0,即c=

∴f(x)=﹣ x+ ,

顯然x>1時,f(x)<0,這與條件②相矛盾,

∴a≠0,因而函數(shù)f(x)=a2 x+c是二次函數(shù).

由于對一切x∈R,都有f(x)≥0,于是由二次函數(shù)的性質可得:

,由此可知 a>0,c>0,

∴ac≤( 2

由f(1)=0,得 a+c= ,代入上式得 ac≤ ,

但前面已推得 ac≥

∴ac=

解得 a=c=


(2)解:∵a=c= ,∴f(x)= x2 x+

∴g(x)=f(x)﹣mx= x2﹣(vm)x+

該函數(shù)圖象開口向上,且對稱軸為x=2m+1.

假設存在實數(shù)m使函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx= x2﹣( +m)x+ 在區(qū)間[m,m+2]上有最小值﹣5.

①當m<﹣1時,2m+1<m,函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+2]上是遞增的,

∴g(m)=﹣5,

m2﹣( +m)m+ =﹣5,

解得 m=﹣3或m= ,

>﹣1,∴m= 舍去

②當﹣1≤m<1時,m≤2m+1<m+1,

函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,2m+1]上是遞減的,而在區(qū)間[2m+1,m+2]上是遞增的,

∴g(2m+1)=﹣5,

(2m+1)2﹣( +m)(2m+1)+ =﹣5.

解得 m=﹣ 或m=﹣ + ,均應舍去.

③當m≥1時,2m+1≥m+2,函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+2]上是遞減的,

∴g(m+2)=﹣5,

(m+2)2﹣( +m)(m+2)+ =﹣5.

解得 m=﹣1﹣2 或m=﹣1+2 ,其中m=﹣1﹣2 應舍去.

綜上可得,當m=﹣3或m=﹣1+2 時,函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx在區(qū)間[m,m+2]上有最小值


【解析】(1)首先函數(shù)f(x)=ax2 x+c是二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質解決對一切x∈R,都有f(x)≥0;根據(jù)f(1)=0得 a+c= ,即c= ﹣a,從而可得 a( ﹣a)≥ ,進而可得a,c的值, 另解:首先函數(shù)f(x)=ax2 x+c是二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質解決對一切x∈R,都有f(x)≥0;由f(1)=0,得 a+c= ,代入上式得 ac≤ ,根據(jù) ac≥ ,可得ac= ,從而得到關于a,c的方程組,故可求a、c的值;(2)g(x)=f(x)﹣mx= x2﹣( +m)x+ , x2﹣( +m)x+ 在區(qū)間[m,m+2]上有最小值﹣5.根據(jù)函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關系進行分類討論,從而可求m的值.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質的相關知識點,需要掌握當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能正確解答此題.

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