Question

已知角A，B，C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，若向量

m

=（cosA+sinA，2-2sinA），

n

=（cosA-sinA，1+sinA），且

m

⊥

n

（1）求角A；
（2）求函數(shù)y=2sin²B+cos（C-

1

2

A）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）首先利用向量垂直的充要條件，通過三角函數(shù)的恒等變換求出A的大�。�
（2）對函數(shù)關(guān)系是進(jìn)行恒等變換，根據(jù)（1）求得的A=

π

3

進(jìn)一步對函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡，變形成二次型復(fù)合函數(shù)，進(jìn)一步利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求的結(jié)果．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，
∵向量

m

=（cosA+sinA，2-2sinA），

n

=（cosA-sinA，1+sinA），
（cosA+sinA）•（cosA-sinA）+（2-2sinA）•（1+sinA）=0，
cos2A=-

1

2

，
已知角A，B，C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，則：0＜A、B、C＜90°，
0＜2A＜180°，
2A=

2π

3

，
解得：A=

π

3

；
（2）由（1）解得的A=

π

3

，
則：函數(shù)y=2sin²B+cos（C-

1

2

A）=2sin²B+sinB=(sinB+

1

4

)2-

1

8

，
由于0＜B＜90°，
所以0＜sinB＜1，
sinB∈（0，1）上單調(diào)遞增函數(shù)，
y∈(-

1

16

，

1

2

)，
故答案為：（1）A=

π

3

，
（2）y∈(-

1

16

，

1

2

)．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積，向量垂直的充要條件，三角函數(shù)的恒等變換，復(fù)合函數(shù)的值域的解法．