Question

函數(shù)E（x）定義如下：對任意x∈R，當x為有理數(shù)時，E（x）=1；當x為無理數(shù)時，E（x）=-1；則稱函數(shù)E（x）為定義在實數(shù)上的狄利克雷拓展函數(shù)．下列關于函數(shù)E（x）說法錯誤的是（　�。�

• A、E（x）的值域為{-1，1}
• B、E（x）是偶函數(shù)
• C、E（x）是周期函數(shù)且

  2

  是E（x）的一個周期
• D、E（x）在實數(shù)集上的任何區(qū)間都不是單調函數(shù)

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)E（x）是周期函數(shù)，任意的有理數(shù)a都是E（x）的周期，任意的無理數(shù)都不是E（x）的周期，從而可得結論．

解答： 解：依題意，函數(shù)E（x）=

1，x∈Q -1，x∈∁RQ

，
該函數(shù)的值域為{-1，1}，E（-x）=E（x），則E（x）是偶函數(shù)，
顯然E（x）是周期函數(shù)，任意的有理數(shù)a都是E（x）的周期，任意的無理數(shù)都不是E（x）的周期．
E（x）在實數(shù)集上的任何區(qū)間都不是單調函數(shù)．
故選C．

點評：本題主要考查了狄利克雷拓展函數(shù)，以及函數(shù)的周期性和單調性與奇偶性，同時考查了學生分析問題和解決問題的能力，以及運算求解的能力．