Question

函數(shù)E（x）定義如下：對(duì)任意x∈R，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，E（x）=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，E（x）=-1；則稱函數(shù)E（x）為定義在實(shí)數(shù)上的狄利克雷拓展函數(shù)．下列關(guān)于函數(shù)E（x）說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、E（x）的值域?yàn)閧-1，1}
• B、E（x）是偶函數(shù)
• C、E（x）是周期函數(shù)且

  2

  是E（x）的一個(gè)周期
• D、E（x）在實(shí)數(shù)集上的任何區(qū)間都不是單調(diào)函數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)E（x）是周期函數(shù)，任意的有理數(shù)a都是E（x）的周期，任意的無(wú)理數(shù)都不是E（x）的周期，從而可得結(jié)論．

解答： 解：依題意，函數(shù)E（x）=

1，x∈Q -1，x∈∁RQ

，
該函數(shù)的值域?yàn)閧-1，1}，E（-x）=E（x），則E（x）是偶函數(shù)，
顯然E（x）是周期函數(shù)，任意的有理數(shù)a都是E（x）的周期，任意的無(wú)理數(shù)都不是E（x）的周期．
E（x）在實(shí)數(shù)集上的任何區(qū)間都不是單調(diào)函數(shù)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了狄利克雷拓展函數(shù)，以及函數(shù)的周期性和單調(diào)性與奇偶性，同時(shí)考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及運(yùn)算求解的能力．