Question

若橢圓

x2

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，且一個(gè)焦點(diǎn)恰好是拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為

 

①，標(biāo)準(zhǔn)方程為

 

②

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)，即有c=2，由橢圓的上頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，求得b=

3

c=2

3

，再由a，b，c的關(guān)系，求得a，再由離心率公式，即可得到離心率和橢圓方程．

解答： 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為（2，0），
則橢圓的c=2，即有m-n=4，
則橢圓的上頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，
即有b=

3

2

×2c=

3

c=2

3

，
即n=b²=12，m=16．
則離心率為e=

c

a

=

2

4

=

1

2

，
橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
故答案為：

1

2

，

x2

16

+

y2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓的離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．