Question

已知函數(shù)（）．
（Ⅰ）當(dāng)曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線l：y=2x+1垂直時(shí)，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（III）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直建立等式關(guān)系，解之即可；
（II）討論a與1的大小，然后利用判定導(dǎo)函數(shù)f′（x）的符號(hào)，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，f′（x）＞0與f′（x）＜0確定單調(diào)性；
（III）由（II）及（I）知：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-x，且[f（x）]_max=f（0）=0，即當(dāng)x∈（-1，0）∪（0，1）時(shí)，恒有l(wèi)n（x+1）＜x成立，由k∈N*知：，得，累積加即可證得結(jié)論．
解答：解：，x＞-1，（2分）
（I）由題意可得2f'（1）=-1，即解得a=1，（3分）
（II）由知：（5分）
①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和（0，+∞）上，f′（x）＜0；
在區(qū)間上，f′（x）＞0．（6分）
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是和（0，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是．（7分）
②當(dāng)a≥1時(shí)，，在區(qū)間（-1，0）上f'（x）＞0；在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）＜0（8分）
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．（9分）
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是和（0，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）（10分）
（III）由（II）及（I）知：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-x，且[f（x）]_max=f（0）=0
即當(dāng)x∈（-1，0）∪（0，1）時(shí)，恒有l(wèi)n（x+1）＜x成立
由k∈N*知：
∴；得，
∴，
即（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性證明不等式，是一道綜合題，有一定的計(jì)算量．