Question

對于函數(shù)y=f（x），若存在開區(qū)間D，同時(shí)滿足：①存在t∈D，當(dāng)x＜t時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞t時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；②對任意x＞0，只要t-x，t+x∈D，都有f（t-x）＞f（t+x），則稱y=f（x）為D內(nèi)的“勾函數(shù)”．
（1）證明：函數(shù)y=|log_ax|（a＞0，a≠1）為（0，+∞）內(nèi)的“勾函數(shù)”；
（2）若D內(nèi)的“勾函數(shù)”y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=g′（x），y=g（x）在D內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，求證：g′(

x1+x2

2

)＞0；
（3）對于給定常數(shù)λ，是否存在m，使函數(shù)h（x）=

1

3

λx³-

1

2

λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）內(nèi)為“勾函數(shù)”？若存在，試求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過對底數(shù)a分類討論，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和“勾函數(shù)”的定義即可證明結(jié)論；
（2）利用“勾函數(shù)”的定義及已知條件即可證明；
（3）利用“勾函數(shù)”的定義中的兩個(gè)條件判斷是否滿足即可．

解答：解：（1）只證明0＜a＜1．
設(shè)0＜a＜1，則f（x）=

logax，當(dāng)0＜x≤1時(shí) -logax，當(dāng)x＞1時(shí)

，
取t=1，則函數(shù)f（x）=log_ax在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減；f（x）=-log_ax在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，因此滿足條件①．
任取x∈（0，1），則1-x，（1+x）∈（0，+∞），而log_a（1-x）-（-log_a（1+x））=loga(1-x2)＞0，即滿足條件②．
由以上證明可知：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=|log_ax|（1＞a＞0，a≠1）為（0，+∞）內(nèi)的“勾函數(shù)”；
當(dāng)a＞1時(shí)，同理可證．
綜上可知：函數(shù)y=|log_ax|（a＞0，a≠1）為（0，+∞）內(nèi)的“勾函數(shù)”；
（2）設(shè)勾函數(shù)y=g（x）的定義域?yàn)椋╝，+∞）（a＞0），且g（x）在區(qū)間（a，t）單調(diào)遞減；在區(qū)間（t，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
因?yàn)榇嬖趦蓚�(gè)零點(diǎn)，設(shè)g（x₁）=g（x₂）=0，不妨設(shè)x₁＜x₂，由題意可得a＜x₁＜t＜x₂，∴g（t-（t-x₁））＞g（t+t-x₁），化為g（x₁）＞g（2t-x₁），
∴g（x₂）＞g（2t-x₁），
∵g（x）在區(qū)間（t，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，∴x₂＞2t-x₁，∴

x1+x2

2

＞t，
∴g′(

x1+x2

2

)＞0．
（3）h^′（x）=λ（x-2λ）（x+λ），令h^′（x）=0，解得x=2λ或-λ．
①當(dāng)λ＞0時(shí)，列表如下：
由表格可知：h（x）在區(qū)間（-λ，+∞）上滿足“勾函數(shù)”的第一個(gè)條件；
但是當(dāng)0＜x＜2λ時(shí)，h（2λ-x）-h（2λ+x）=-

2

3

λx3＜0，不滿足“勾函數(shù)”的第二個(gè)條件．
因此此時(shí)函數(shù)h（x）表示“勾函數(shù)”．
②當(dāng)λ＜0時(shí)，不滿足“勾函數(shù)”的第一個(gè)條件．
故不存在m使函數(shù)h（x）=

1

3

λx³-

1

2

λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）內(nèi)為“勾函數(shù)”．

點(diǎn)評：熟練掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、“勾函數(shù)”的定義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．