Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)任意取值時，的圖象始終經(jīng)過一個定點(diǎn)，若的圖象在該定點(diǎn)處取得極值，求的值；

（2）求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)的充分不必要條件是.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)，得到定點(diǎn)，然后求導(dǎo)，根據(jù)的圖象在該定點(diǎn)處取得極值求解.

（2）分不必要性和充分性論證，證不必要性時，根據(jù)（1）取論證. 證充分性時，根據(jù)，所以已經(jīng)有零點(diǎn)1，只需要證明函數(shù)再無其它零點(diǎn)即可，然后.根據(jù)，分和兩種情況論證即可.

（1）由可得，，

所以的圖象始終經(jīng)過一個定點(diǎn)，

因?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>的圖象在該定點(diǎn)處取得極值，所以，所以，

當(dāng)時，，滿足：在左右側(cè)異號，

所以符合題意；

（2）不必要性：

當(dāng)時，，

在上，，在上，，

所以在上遞增，在上遞減，

所以，

所以當(dāng)時，函數(shù)有唯一零點(diǎn)1，

所以當(dāng)是函數(shù)有唯一零點(diǎn)的不必要條件；

充分性：

因?yàn)?/span>，所以已經(jīng)有零點(diǎn)1，下面只需要證明函數(shù)再無其它零點(diǎn)了.

因?yàn)?/span>且時，，

所以在上無零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，

當(dāng)，且時，，所以，

所以在遞增，所以當(dāng)時，，

所以在時也無零點(diǎn)，

所以時，有唯一零點(diǎn)1，

所以是有唯一零點(diǎn)的充分條件.