Question

等邊三角形的邊長為3,點、分別是邊、上的點,且滿足 (如圖1)．將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結(jié) (如圖2)．

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由．

Answer 1

 (1)因為等邊△的邊長為3,且,

所以,． 在△中,,

由余弦定理得． 因為,

所以．……………3分

折疊后有,因為二面角是直二面角,

所以平面平面  ,又平面平面,

平面,, 所以平面．………6分

(2)解法1:假設(shè)在線段上存在點,使直線與平面所成的角為．

如圖,作于點,連結(jié)、 ，

由(1)有平面,而平面,

所以,又, 所以平面_, 

所以是直線與平面所成的角  , ………………………8分

設(shè),則,,

在△中,,所以 ,

在△中,, ,

由, 得  ,解得,滿足,符合題意 

所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時  ………12分

解法2:由(1)的證明,可知,平面．

以為坐標原點,以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標系如圖 ,設(shè), 則,, ,

所以,,,所以 ,

因為平面, 所以平面的一個法向量為 , ………………………9分

因為直線與平面所成的角為, 所以,

,  解得 ,

即,滿足,符合題意,

所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時 ．………12分