Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=10，a₂=5，a_n-a_n+2=2（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前2n項和為S_2n，當S_2n取最大值時，求n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項均是以-2為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n），利用分組求和法能求出當n=4時，S_2n取最大值．

解答： 解：（1）∵a₁=10，a₂=5，a_n-a_n+2=2（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項均是以-2為公差的等差數(shù)列，
當n為奇數(shù)時，an=a1+(

n+1

2

-1)×(-2)=11-n，
當n為偶數(shù)時，an=a2+(

n

2

-1)×(-2)=7-n，
∴an=

11-n，n為奇數(shù) 7-n，n為偶數(shù)

．
（2）S_2n=a₁+a₂+…+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=na₁+

n(n-1)

2

×(-2)+na2 +

n(n-1)

2

×(-2)
=-2n²+17n，
結合二次函數(shù)的性質知，當n=4時，S_2n取最大值．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和的基礎知識，考查數(shù)列的分組求和的方法，是中檔題．