Question

已知函數(shù)1nx，且m＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得（m＞0）． …（1分）
因為函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，所以f'（x）≥0在[1+∞）上恒成立，
所以mx-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
所以上恒成立．
所以m的取值范圍是[1，+∞）． …（3分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，∴（m＞0）． …（4分）
①若＜1，即m＞1，則x∈[1，e]時，有f'（x）＞0，所以f（x）在[1，e]上遞增，
所以f（x）的最大值是的最小值是f（1）=0…（6分）
②若＜e，即＜m≤1，則時，f′（x）＜0，所以f（x）在上遞減；時，f′（x）＞0，所以f（x）在上遞增．
所以f（x）的最小值是．
又，
所以當1-e+me＞0，即＜m≤1時，有f（e）＞f（1），所以f（x）的最大值是；
當1-e+me≤0，即時，有f（e）≤f（1），
所以f（x）的最大值是f（1）=0． …（9分）
③若，即，則x∈[1，e]時，有f'（x）＜0，
所以f（x）在[1，e]上遞增，
所以f（x）的最大值是f（1）=0；f（x）的最小值是．…（11分）
所以f（x）的最大值是，f（x）的最小值是…（12分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，可得f'（x）≥0在[1+∞）上恒成立，分離參數(shù)，即可求得m的取值范圍；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)f（x）在[1，e]的最大值和最小值．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確求導(dǎo)，確定分類標準是關(guān)鍵．