Question

一個多面體的直觀圖（圖1）和三視圖（圖2）如圖所示，其中M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動點(diǎn)．
（1）求該多面體的體積與表面積；
（2）當(dāng)FG=GD時，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）判斷該多面體為直三棱柱，然后直接求解該多面體的體積為

1

2

a³，表面積．
（2）連接DB，F(xiàn)N，通過證明AC⊥平面FDN，然后證明GN⊥AC．
（3）通過點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，GP∥平面FMC．取FC的中點(diǎn)H，連接GH，GA，MH，說明GH

∥

.

1

2

CD．推出GH∥AM且GH=AM，得到四邊形GHMA是平行四邊形然后證明GA∥平面FMC．

解答： 解：（1）由題中圖可知該多面體為直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF=AD=DC=a，
所以該多面體的體積為

1

2

a³，表面積為

1

2

a²×2+

2

a²+a²+a²=（3+

2

）a²．
（2）證明：連接DB，F(xiàn)N，由四邊形ABCD為正方形，且N為AC的中點(diǎn)知B，N，D三點(diǎn)共線，且AC⊥DN．
又∵FD⊥AD，F(xiàn)D⊥CD，AD∩CD=D，∴FD⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴FD⊥AC．又DN∩FD=D，∴AC⊥平面FDN，
又GN?平面FDN，∴GN⊥AC．
（3）證明：點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，GP∥平面FMC．取FC的中點(diǎn)H，
連接GH，GA，MH．∵G是DF的中點(diǎn)，∴GH

∥

.

1

2

CD．
又M是AB的中點(diǎn)，∴AM

∥

.

1

2

CD．∴GH∥AM且GH=AM，
∴四邊形GHMA是平行四邊形．∴GA∥MH．∵M(jìn)H?平面FMC，GA?平面FMC，
∴GA∥平面FMC，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，GP∥平面FMC．

點(diǎn)評：本題考查空間幾何體的體積以及表面積的求法，直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．