Question

已知二次函數(shù)y=f（x），滿足f（1）=3，f（-1）=-1，f（x）的最小值-1．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若函y=F（x），x∈R為奇函數(shù)，x＞0時，F(xiàn)（x）=f（x），求函數(shù)y=F（x），x∈R的解析式；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)出函數(shù)的解析式，得到方程組，解出即可；
（Ⅱ）結(jié)合函數(shù)的奇偶性，分別求出各個區(qū)間上的函數(shù)解析式，綜合得出結(jié)論；
（Ⅲ）通過討論λ的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=a（x-h）²+k，（a≠0），
由題意得：

k=-1 a(1-h)2-1=3 a(-1-h)2-1=-1

，
解得：k=-1，h=-1，a=1，
∴f（x）=x²+2x；
（Ⅱ）∵y=F（x），x∈R為奇函數(shù)，∴F（0）=0，
當(dāng)x＜0時，-x＞0，∴F（-x）=f（-x）=x²-2x，
又F（-x）=-F（x），∴F（x）=-x²+2x，
∴F（x）=

x2+2x，x＞0 0，x=0 -x2+2x，x＜0

；
（Ⅲ）g（x）=（1-λ）x²-（2+2λ）x+1，
若1-λ=0即λ=1，g（x）在[-1，1]遞減，
若λ≠1，則對稱軸x=

1+λ

1-λ

，g（x）在[-1，1]遞減，
只需

1-λ＞0 1+λ 1-λ ≥1

或

1-λ＜0 1+λ 1-λ ≤-1

，解得：0≤λ＜1，
若λ＞1，g（x）在[-1，1]遞減，
綜上，λ≥0．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了求函數(shù)解析式問題，考查了分類討論思想，是一道中檔題．