Question

在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，CC₁=4，點(diǎn)E在線段BB₁上，且EB₁=1，D，F(xiàn)，G分別為CC₁，C₁B₁，C₁A₁的中點(diǎn)．求證：
（1）B₁D⊥平面ABD；
（2）平面EGF∥平面ABD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用向量證明B₁D垂直平面ABD內(nèi)的兩條直線；
（2）根據(jù)面面平行的判定定理利用向量證明即可．

解答： 證明：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則B（0，0，0），D（0，2，2），B₁（0，0，4），設(shè)BA=a則A（a，0，0），
所以

BA

=（a，0，0），

BD

=（0，2，2），

B1D

=（0，2，-2），

B1D

•

BA

=0，

B1D

•

BD

=0+4-4=0，
即B₁D⊥BA，B₁D⊥BD．
又BA∩BD=B，
因此B₁D⊥平面ABD．
（2）由（1）知，E（0，0，3），G（

a

2

，1，4），F(xiàn)（0，1，4），
則

EG

=(

a

2

，1，1），

EF

=（0，1，1），

B1D

•

EG

=0+2-2=0，

B1D

•

EF

=0+2-2=0，
即B₁D⊥EG，B₁D⊥EF，
又B₁D⊥EG，B₁D⊥EF，
又EG∩EF=E，
∴B₁D⊥平面EGF，
結(jié)合（1）知，平面EGF∥平面ABD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直、面面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題．