Question

（本題滿分15分）已知動圓Q過定點，且與直線相切，橢圓的對稱軸為坐標軸，點為坐標原點，是其一個焦點，又點在橢圓上.

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的標準方程和橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若過的動直線交橢圓于點，交軌跡于兩點，設(shè)為 的面積，為的面積，令,試求的最小值.

Answer 1

（1），；（2）；

【解析】

試題分析：（1）點不再直線上，到定點的距離與到一條定直線距離相等的點的軌跡為拋物

線，定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準線，求出拋物線的方程為，而橢圓的焦點，

過，說明有，得出橢圓的方程；第二步由于直線的斜率存在，可設(shè)直線斜截

式方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去得關(guān)于的一元二次方程，利用設(shè)而不求思想，設(shè)出交點坐標，

利用根與系數(shù)關(guān)系，寫出，求出弦長，在求出到直線的距離，求出，再把直線方

程與拋物線聯(lián)立，消去得關(guān)于一元二次方程，同樣可求出面積，最后求出的

最大值；

試題解析：（1）設(shè)圓心為，依題意，圓心到定點與直線的距離相等，由拋物線的定義易得動點Q的軌跡M的標準方程為：，又依題意可設(shè)橢圓N的標準方程為顯然有∴橢圓N的標準方程為

（2）顯然直線m的斜率存在，不妨設(shè)直線m的直線方程為：， ① 聯(lián)立橢圓N的標準方程，有，設(shè)則有：

又A（0,2）到直線m的距離，∴；

再將①式聯(lián)立拋物線方程，有，同理易得

∴ ，∴，∴當

考點：1.定義法求軌跡方程；2.設(shè)而不求思想；3.弦長公式；4.求最值；