Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x-1），g（x）=lg（x²+1）
（1）求f（x）和g（x）的定義域；
（2）判斷g（x）奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）判斷f（x）在其定義域上的單調(diào)性？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的定義域的求法，對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0，解不等式即可得到定義域；
（2）運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義，注意判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f（-x）；
（3）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=lg（x-1），則x-1＞0，即x＞1，定義域?yàn)椋?，+∞），
由于g（x）=lg（x²+1），則x²+1＞0，即x∈R，則定義域?yàn)镽；
（2）g（x）在R上是偶函數(shù)．
理由如下：定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
g（-x）=lg[（-x）²+1]=g（x），則g（x）在R上是偶函數(shù)；
（3）f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
理由如下：令1＜m＜n，則f（m）-f（n）=lg（m-1）-lg（n-1）
=lg

m-1

n-1

，由于

m-1

n-1

-1=

m-n

n-1

，又1＜m＜n，則m-n＜0，n-1＞0，
即有由于

m-1

n-1

＜1，則lg

m-1

n-1

＜0，即有f（m）＜f（n），
則有f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用定義，屬于基礎(chǔ)題．