Question

【題目】如圖，已知?jiǎng)又本�l過點(diǎn) ，且與圓O：x2+y2=1交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線l的斜率為 ，求△OAB的面積；
（2）若直線l的斜率為0，點(diǎn)C是圓O上任意一點(diǎn)，求CA2+CB2的取值范圍；
（3）是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q（不同于點(diǎn)P），對(duì)于任意不與y軸重合的直線l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)橹本�l的斜率為 ，所以直線l ，

則點(diǎn)O到直線l的距離 ，

所以弦AB的長度 ，

所以

（2）解：因?yàn)橹本�l的斜率為0，所以可知 、

設(shè)點(diǎn)C（x，y），則x2+y2=1，

又 ，

所以CA2+CB2=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，

所以CA2+CB2的取值范圍是[2，6]

（3）解：法一：若存在，則根據(jù)對(duì)稱性可知，定點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)Q（0，t）、又設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），

因直線l不與y軸重合，設(shè)直線l ，

代入圓O得 ，

所以 （*）

若PQ平分∠AQB，則根據(jù)角平分線的定義，AQ與BQ的斜率互為相反數(shù)

有 ，又 ， ，

化簡可得 ，

代入（*）式得 ，因?yàn)橹本�l任意，故 ，

即t=2，即Q（0，2）

解法二：若存在，則根據(jù)對(duì)稱性可知，定點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)Q（0，t）、又設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），

因直線l不與y軸重合，設(shè)直線l ，

代入圓O得 ，

所以 （*）

若PQ平分∠AQB，則根據(jù)角平分線的幾何意義，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離d1，點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離d2滿足 ，即 ，

化簡可得 ，

代入（*）式得 ，因?yàn)橹本�l任意，故 ，

即t=2，即Q（0，2）

【解析】（1）因?yàn)橹本�l的斜率為 ，所以直線l ，利用弦長、半徑、弦心距的關(guān)系，求得弦長及△OAB的高，即可求出面積．（2）因?yàn)橹本�l的斜率為0，所以可知 、 ，設(shè)點(diǎn)C（x，y），則x2+y2=1，又 =4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，即可得CA2+CB2的取值范圍．（3）法一：若存在，則根據(jù)對(duì)稱性可知，定點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)Q（0，t）、又設(shè)A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），因直線l不與y軸重合，設(shè)直線l ，代入圓O得 ，所以 （*）由AQ與BQ的斜率互為相反數(shù)，可得 ，即求得t；解法二：若PQ平分∠AQB，則根據(jù)角平分線的幾何意義，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離d1 ， 點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離d2滿足 ，即 ，化簡可得 ，同時(shí)求得t．