Question

設函數f（x）=|x²-2x-1|，若a，b＞1，且f（a）=f（b），則ab-a-b的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：f（x）是一個對稱軸為 x=1 拋物線，然后把 x軸下方的圖形關于x軸翻折上去，設這個圖形與x軸交點分別為x₁，x₂，那么必然有-1＜a＜x₁＜b＜3，可求出b-a的范圍，而ab-a-b=ab-

a2+b2-2

2

=

2-(a-b)2

2

，即可求出所求．

解答： 解：f（x）=|x²-2x-1|=|（x-1）²-2|，
如圖示：
，



設這個圖形與x軸交點分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），
那么在x₁＜x＜x₂，f（x）有最大值，在x=1時取得，f（1）=2，
解方程 f（x）=|x²-2x-1|=2，可以算出x=3或者-1，
那么必然有-1＜a＜x₁＜b＜3，
若1＜a＜b，且f（a）=f（b），此時a²-2a-1＜0，b²-2b-1＞0，
那么有a²-2a-1=-（b²-2b-1）
解得：a+b=

a2+b2-2

2

，
ab-a-b=ab-

a2+b2-2

2

=

2-(a-b)2

2

，
判斷b-a的取值范圍，顯然，0＜b-a＜（-1）-（-3）=2，
那么：0＜（b-a）²＜4，
于是：-1＜

2-(a-b)2

2

＜1，
即：-1＜ab-a-b＜1．
故答案為：（-1，1）．

點評：本題主要考查了二次函數的性質，同時考查了分析問題的能力，計算能力，討論的數學思想，屬于中檔題．