17.已知函數(shù)f(x)=2sin(3x-\frac{π}{3}),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期,單調(diào)減區(qū)間;
(2)若x∈[0,\frac{π}{2}],求f(x)的值域.
分析 (1)利用三角函數(shù)最小正周期的公式T=\frac{2π}{ω}求得周期,令2kπ+\frac{π}{2}≤3x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2},k∈Z,解得函數(shù)f(x)單調(diào)減區(qū)間.
(2)由已知可求3x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3},\frac{7π}{6}],利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其值域.
解答 解:(1)∵f(x)=2sin(3x-\frac{π}{3}),函數(shù)解析式中w=3,
∴函數(shù)的最小正周期T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{3},
∵令2kπ+\frac{π}{2}≤3x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2},k∈Z,解得:\frac{2kπ}{3}+\frac{5π}{18}≤x≤\frac{2kπ}{3}+\frac{11π}{18},k∈Z,
∴函數(shù)f(x)單調(diào)減區(qū)間為:[\frac{2kπ}{3}+\frac{5π}{18},\frac{2kπ}{3}+\frac{11π}{18}],k∈Z.
(2)∵x∈[0,\frac{π}{2}],
∴3x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3},\frac{7π}{6}],
∴f(x)=2sin(3x-\frac{π}{3})∈[-\sqrt{3},2],即f(x)的值域?yàn)閇-\sqrt{3},2].
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法.考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用,要熟練記憶三角函數(shù)中最小正周期的公式,屬于基礎(chǔ)題.