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9.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)恒滿足,且對任意實數(shù)x恒滿足f(x+2)=-f(x) 當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2
(1)求證:函數(shù)f(x)是周期函數(shù);
(2)當(dāng)x∈[2,4],求f(x)的解析式;
(3)計算40f(x)dx 的值.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)周期的定義進行證明即可.
(2)由f(x)最小正周期為4,知當(dāng)x∈[2,4]時,有f(-x)=f(-x+4),根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)推知f(x)=-f(-x),由此得到f(x)的解析式;
(3)利用定積分的計算公式解答.

解答 (1)證明:∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).
(2)解:x∈[2,4],則-x∈[-2,-4],-x+4∈[0,2],
∵函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),
∴f(-x)=f(-x+4)=2(4-x)-(4-x)2
又因為f(x)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=x2-6x+8.
(3)解:40f(x)dx
=20(2x-x2)dx+42(x2-6x+8)dx
=(13x3+x2)|20+(13x3-3x2+8x)|42
=13×23+22+13×43-3×42+8×4-13×23+3×22-8×2
=0.

點評 本題考查函數(shù)的周期性質(zhì)的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.

練習(xí)冊系列答案
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