分析 (1)根據(jù)函數(shù)周期的定義進行證明即可.
(2)由f(x)最小正周期為4,知當(dāng)x∈[2,4]時,有f(-x)=f(-x+4),根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)推知f(x)=-f(-x),由此得到f(x)的解析式;
(3)利用定積分的計算公式解答.
解答 (1)證明:∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).
(2)解:x∈[2,4],則-x∈[-2,-4],-x+4∈[0,2],
∵函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),
∴f(-x)=f(-x+4)=2(4-x)-(4-x)2
又因為f(x)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=x2-6x+8.
(3)解:∫40f(x)dx
=∫20(2x-x2)dx+∫42(x2-6x+8)dx
=(−13x3+x2)|20+(13x3-3x2+8x)|42
=−13×23+22+13×43-3×42+8×4-13×23+3×22-8×2
=0.
點評 本題考查函數(shù)的周期性質(zhì)的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 函數(shù)y=f(x)•g(x)的最小正周期為2π | |
B. | 函數(shù)y=f(x)•g(x)的最大值為1 | |
C. | x=\frac{π}{2}是函數(shù)y=f(x)•g(x)的圖象的一條對稱軸 | |
D. | 函數(shù)y=f(x)•g(x)在區(qū)間[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]是單調(diào)增函數(shù) |
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