如圖,已知拋物線:
和⊙
:
,過拋物線
上一點(diǎn)
作兩條直線與⊙
相切于
、
兩點(diǎn),分別交拋物線為E、F兩點(diǎn),圓心點(diǎn)
到拋物線準(zhǔn)線的距離為
.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)的角平分線垂直
軸時(shí),求直線
的斜率;
(Ⅲ)若直線在
軸上的截距為
,求
的最小值.
(1);(2)
;(3)
.
解析試題分析:本題考查拋物線、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與拋物線、圓的位置關(guān)系,突出解析幾何的基本思想和方法的考查:如數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化方法等.第一問,據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線
的距離為
,直接列式求得
,得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,據(jù)條件
的角平分線為
,即
軸,得
,而
,
關(guān)于
對(duì)稱,所以
,利用兩點(diǎn)斜率公式代入得
,所以求得
;第三問,先求直線
的方程,再求
的方程,令
,可得到
,利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.
試題解析:(1)∵點(diǎn)到拋物線的距離為
,
∴,即拋物線
的方程為
. 2分
(2)法一:∵當(dāng)的角平分線垂直
軸時(shí),點(diǎn)
,∴
,
設(shè),
∴, ∴
,
∴,∴
. 6分
法二:∵當(dāng)的角平分線垂直
軸時(shí),點(diǎn)
,∴
,可得
,
,∴直線
的方程為
,
聯(lián)立方程組,得
,
∵ ∴
,
.
同理可得,
,∴
. 6分
(3)法一:設(shè),∵
,∴
,
可得,直線的方程為
,
同理,直線的方程為
,
∴,
,
∴直線的方程為
,
令,可得
,
∵關(guān)于
的函數(shù)在
單調(diào)遞增, ∴
. 12分
法二:設(shè)點(diǎn),
,
.
以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線,
、
是雙曲線的左右頂點(diǎn),
是雙曲線上除兩頂點(diǎn)外的一點(diǎn),直線
與直線
的斜率之積是
,
求雙曲線的離心率;
若該雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是,求雙曲線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),如果一個(gè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(3,
),且以點(diǎn)F(2,0)為它的一個(gè)焦點(diǎn).
(1)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)中求過點(diǎn)F(2,0)的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,
、
是其左右焦點(diǎn),離心率為
,且經(jīng)過點(diǎn)
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若、
分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn),
為橢圓上動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線
斜率為
,且
,求直線
斜率的取值范圍;
(3)若為橢圓上動(dòng)點(diǎn),求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓:
的離心率為
,以橢圓
的左頂點(diǎn)
為圓心作圓
:
,設(shè)圓
與橢圓
交于點(diǎn)
與點(diǎn)
.(12分)
(1)求橢圓的方程;(3分)
(2)求的最小值,并求此時(shí)圓
的方程;(4分)
(3)設(shè)點(diǎn)是橢圓
上異于
,
的任意一點(diǎn),且直線
分別與
軸交于點(diǎn)
,
為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:
為定值.(5分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
的左焦點(diǎn)為
,且橢圓
的離心率
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為
,
是橢圓
上異于
的任一點(diǎn),直線
分別交
軸于點(diǎn)
,證明:
為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓上,是否存在點(diǎn)
,使得直線
與圓
相交于不同的兩點(diǎn)
,且
的面積最大?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的
的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
為動(dòng)點(diǎn),
、
分別為橢圓
的左、右焦點(diǎn).已知
為等腰三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于
、
兩點(diǎn),
是直線
上的點(diǎn),滿足
,求點(diǎn)
的軌跡
方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線
與直線
相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于
兩點(diǎn).
(Ⅰ)若,求
的值;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
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