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7.已知函數(shù)f(x)=|cosx|sinx,給出下列五個(gè)說法:
①f(823π)=-34
②若|f(x1)|=|f(x2)|,則x1=x2+kπ(k∈Z);
③f(x)在區(qū)間[-π4\frac{π}{4}}]上單調(diào)遞增;
④函數(shù)f(x)的周期為π.
⑤f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π2,0)成中心對(duì)稱.
其中正確說法的序號(hào)是①③.

分析 根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),依次對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

解答 解:由題意函數(shù)f(x)=|cosx|sinx={12sin2x2kπ+π2x2kπ+3π212sin2x2kππx2kπ+π2(k∈Z);
對(duì)于①:f(823π)=|cos823π|sin823π=)=|cos(27π+π3)|sin(27π+π3)=32×12=-34;所以①對(duì)
對(duì)于②:若|f(x1)|=|f(x2)|,當(dāng)x2=π4,x1=3π4時(shí),成立,則x1=x2+π2,所以②不對(duì)
對(duì)于③f(x)在區(qū)間[-π4,\frac{π}{4}}]上時(shí),f(x)=12sin2x,可得2x∈[π2,π2],x∈[-π4,\frac{π}{4}}]上是單調(diào)遞增;所以③對(duì).
對(duì)于④:函數(shù)f(x)=|cosx|sinx,則f(x+π)=|cos(x+π)|sin(x+π)=-(|cosx|sinx)=-f(x),可得函數(shù)f(x)的周期不是π.所以④不對(duì).
對(duì)于⑤:由于f(π2+x)=|cos(x+π2)|sin(x+π2)=cosx•|sinx|,f(π2x)=|cos(-x+π2)|sin(-x+π2)=cosx•|sinx|
則:f(π2+x)=f(π2x)圖象關(guān)于x=π2對(duì)稱.所以⑤不對(duì).
綜上所得:①③正確,②④⑤不對(duì).
故答案為:①③.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力.體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.屬于中檔題.

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