Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x
（1）求a的值；
（2）求g（x）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，g（x）的值域并判斷g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）欲求a的值，根據(jù)f^-1（18）=a+2，只要即從原函數(shù)式中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，求得反函數(shù)的解析式即可．
（2）由（1）求得的a值直接代入g（x）=3^ax-4^x欲即得g（x）的表達(dá)式；
（3）令u=2^x，將g（x）的值域、單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)u-u²的值域、單調(diào)性解決即可．

解答：解：（1）f^-1（x）=log₃x，log₃18=a+2，
∴a=log₃2．
（2）g（x）=（3^a）^x-4^x=（3^log₃2）^x-4^x=2^x-4^x．
（3）令u=2^x，
∵-1≤x≤1，則

1

2

≤u≤2，
g（x）=φ（u）=u-u²=-（u-

1

2

）²+

1

4

，
當(dāng)u=

1

2

時，φ（u）_max=

1

4

，當(dāng)u=2時，φ（u）_min=-2．
∴g（x）的值域?yàn)閇-2，

1

4

]，
當(dāng)-1≤x≤1時，

1

2

≤u≤2，φ（u）為減函數(shù)，而u=2^x為增函數(shù)，
g（x）在[-1，1]上為減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查反函數(shù)的求法及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題目，要會求一些簡單函數(shù)的值域及單調(diào)性判斷，掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系．