Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，點E，F(xiàn)分別是線段AB，C₁D₁上的動點，點P是上底面A₁B₁C₁D₁內(nèi)一動點，且滿足點P到點F的距離等于點P到平面ABB₁A₁的距離，則當點P運動時，PE的最小值是（　�。�

• A、5
• B、4
• C、4

  2

• D、2

  5

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，當E、F分別是AB、C₁D₁上的中點，P為正方形A₁B₁C₁D₁時，PE取最小值，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AE=a，D₁F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，
則F（0，b，4），E（4，a，0），

PF

=（-x，b-y，0），
∵點P到點F的距離等于點P到平面ABB₁A₁的距離，
∴當E、F分別是AB、C₁D₁上的中點，P為正方形A₁B₁C₁D₁時，
PE取最小值，
此時，P（2，2，4），E（4，2，0），
∴|PE|_min=

(2-4)2+(2-2)2+(4-0)2

=2

5

．
故選：D．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系、空間向量的運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和推理論證能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法及創(chuàng)新意識．