Question

8．已知函數(shù)f（x）定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（-1），則a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞]∪（-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由偶函數(shù)的性質(zhì)將f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（-1），化為：f（log₂a）≤f（1），再由f（x）的單調(diào)性列出不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
所以f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）=f（-log₂a）=f（log₂a），
則f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（-1），為：f（log₂a）≤f（1），
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以|log₂a|≥1，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$或a≥2，
則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．