Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸交于A點(diǎn)，若F₁（-1，0），且．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F₁、F₂作互相垂直的兩直線分別與橢圓交于P、Q、M、N四點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I） 先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（a²，0），利用，可得F₂是AF₁的中點(diǎn)，由此可求橢圓方程；
（II）當(dāng)直線MN與PQ中有一條與x軸垂直時(shí)，四邊形PMQN面積；當(dāng)直線PQ，MN均與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ、MN的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得|PQ|，|MN|，表示出四邊形PMQN面積，再換元，即可求得四邊形PMQN面積的取值范圍．
解答：解：（I） 由F₁（-1，0）得c=1，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（a²，0）；…（2分）
∵，∴F₂是AF₁的中點(diǎn)，∴a²=3，b²=2
∴橢圓方程為…（5分）
（II）當(dāng)直線MN與PQ中有一條與x軸垂直時(shí)，四邊形PMQN面積；…（6分）
當(dāng)直線PQ，MN均與x軸不垂直時(shí)，不妨設(shè)PQ：y=k（x+1）（k≠0），
聯(lián)立代入消去y得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則…（8分）
∴，同理
∴四邊形PMQN面積…（10分）
令，則，則S是以u(píng)為變量的增函數(shù)
所以當(dāng)k=±1，u=2時(shí)，，∴
綜上可知，，∴四邊形PMQN面積的取值范圍為…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，正確表示四邊形的面積是關(guān)鍵．