Question

19．設函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-4lnx$
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出定義域，函數的導數，極值點，利用導函數的符號求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）利用函數的極值以及端點函數值，求解函數的最值即可．

解答 解：（I）定義域為（0，+∞）…（2分）
得$f'（x）=x-\frac{4}{x}$，令f'（x）=0，x=2

x	0＜x＜2	x＞2
f'（x）	-	+

所以f（x）的單調減區(qū)間為（0，2）單調增區(qū)間為（2，+∞）             …（6分）
（ II）由（I），f（x）在[1，2]減，在[2，e]增，
所以f（x）_min=f（2）=2-4ln2…（9分）
又f（1）=$\frac{1}{2}$，$f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-4$…（11分）
因為$f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-4＜\frac{1}{2}$
所以f（x）_min=f（2）=2-4ln2，$f{（x）_{max}}=\frac{1}{2}$…（14分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的最值以及函數的單調性極值的求法，考查轉化思想以及計算能力．