Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+2}$（x＞0），觀察：
f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{x+2}$（x＞0），f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{3x+4}$，f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{7x+8}$，f₄（x）=f（f₃（x））=$\frac{x}{15x+16}$…
根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當n∈N⁺時，f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

Answer 1

分析 觀察所給的前四項的結(jié)構(gòu)特點，先觀察分子，只有一項組成，并且沒有變化，在觀察分母，有兩部分組成，是一個一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的一次項系數(shù)與常數(shù)項的變化特點，得到結(jié)果．

解答 解：由題意，所給的函數(shù)式的分子不變都是x，而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數(shù)分別是1，3，7，15…2ⁿ-1，第二部分的數(shù)分別是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{x}{（{2}^{n}-1）x+{2}^{n}}$，
∴f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．
故答案為$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

點評 本題考查歸納推理，實際上本題考查的重點是給出一個數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的通項公式，本題是一個綜合題目，知識點結(jié)合的比較巧妙．