Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

2a

x

，a∈R．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：首先確定函數(shù)的定義域，
（1）將a=1代入表達(dá)式并求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求極值；
（2）求導(dǎo)，函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)可化為

x-2a

x2

≥0在[2，+∞）上恒成立，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=lnx+

2a

x

的定義域?yàn)椋?，+∞），
（1）若a=1，f（x）=lnx+

2

x

，
f′（x）=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

，
故f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）在x=2時(shí)有極小值f（2）=ln2+1；
（2）∵f′（x）=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

，
又∵函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴

x-2a

x2

≥0在[2，+∞）上恒成立，
即x-2a≥0在[2，+∞）上恒成立，
即2a≤2，故a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題的處理方法，屬于中檔題．