Question

在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：3，則它們的面積比為

 

；類似地：在空間，兩個正四面體的棱長的比為1：3，則它們的體積比為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：①由正三角形的面積計算公式S=

3

4

a2（a為邊長），可得

S△1

S△2

=(

1

3

)2．
②如圖所示，設正四面體的棱長為x，則AO=

3

3

x，可得h=

x2-( 3 3 x)2

=

6

3

x．利用它們的體積比=

1 3 h1S△1

1 3 h2S△2

=(

x1

x2

)3即可得出．

解答： 解：①由正三角形的面積計算公式S=

3

4

a2（a為邊長）．
∴

S△1

S△2

=(

1

3

)2=

1

9

．
②如圖所示，設正四面體的棱長為x，
則AO=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x．
∴h=

x2-( 3 3 x)2

=

6

3

x．
∵兩個正四面體的棱長的比為1：3，
則它們的體積比=

1 3 h1S△1

1 3 h2S△2

=(

x1

x2

)3=

1

27

．
故答案為：

1

9

，

1

27

．

點評：本題考查了面積比、體積比與棱長比之間的關系、三角形的面積計算公式、棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．