Question

有以下五個(gè)命題：
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-1；
（2）若a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a²+b²-c²＞0，則△ABC一定是銳角三角形；
（3）若A，B是三角形△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且sinA＜sinB，則BC＜AC；
（4）若關(guān)于x的不等式ax-b＜0的解集為（1，+∞），則關(guān)于x的不等式

bx+a

x+2

＜0的解集為（-2，-1）；
（5）函數(shù)y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）的最小值為4；
其中真命題為

 

（所有正確的都選上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）依題意，可推出數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-1，據(jù)此可判斷（1）；
（2）△ABC中，利用余弦定理，a²+b²-c²＞0⇒∠C為銳角，△ABC不一定是銳角三角形，從而可判斷（2）；
（3）在△ABC中，sinA＜sinB，利用正弦定理可判斷（3）；
（4）關(guān)于x的不等式ax-b＜0的解集為（1，+∞）⇒a＜0且a=b，于是解不等式

bx+a

x+2

＜0可判斷（4）；
（5）依題意，令t=sinx∈（0，1]，構(gòu)造函數(shù)g（t）=t+

4

t

，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得g（t）_min=g（1）=1+

4

1

=5，可判斷（5）．

解答： 解：對(duì)于（1）：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），又a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-1，（1）正確；
對(duì)于（2）：△ABC中，∵a²+b²-c²＞0，
∴角C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，（2）錯(cuò)誤；
對(duì)于（3）：∵A，B是三角形△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且sinA＜sinB，
∴由正弦定理可知，

BC

2R

＜

AC

2R

（其中2R為△ABC的外接圓的直徑），
∴BC＜AC，（3）正確；
對(duì)于（4）：∵不等式ax-b＜0的解集為（1，+∞），
∴a＜0且a=b，
∴

bx+a

x+2

＜0?

x+1

x+2

＞0?

x+1＞0 x+2＞0

或

x+1＜0 x+2＜0

，解得：x＞-1或x＜-2，
∴關(guān)于x的不等式

bx+a

x+2

＜0的解集為（-∞，-2）∪（-1，+∞），（4）錯(cuò)誤；
對(duì)于（5）：∵0＜x＜π，∴t=sinx∈（0，1]，
由對(duì)勾函數(shù)g（t）=t+

4

t

的單調(diào)性質(zhì)可知，g（t）=t+

4

t

在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（t）_min=g（1）=1+

4

1

=5，（5）錯(cuò)誤．
綜上述，正確命題的序號(hào)為（1）（3）．
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查等比關(guān)系的確定及其通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查正弦定理與分式不等式的解法及基本不等式的應(yīng)用，突出考查轉(zhuǎn)化思想．