Question

已知函數(shù)f（x）=x²，對任意實數(shù)t，g_t（x）=-tx+1．
（1）h（x）=g_t（x）-

x

f(x)

在（0，3]上是單調(diào)遞增的，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若mf（x）＜g₂（x）對任意x∈(0，

1

3

]恒成立，求正數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把f（x）和g_t（x）代入h（x）=g_t（x）-

x

f(x)

，利用增函數(shù)的定義設(shè)0＜x₁＜x₂≤3，由h（x₁）-h（x₂）小于0恒成立求解t的取值范圍；
（2）由mf（x）＜g₂（x），得到得mx²＜（-2x+1），轉(zhuǎn)化為m＜

1

x2

-

2

x

，分離變量m后配方求得最小值得答案．

解答： 解 （1）由已知得，h(x)=

x

f(x)

-gt(x)=

1

x

+tx-1，
設(shè)0＜x₁＜x₂≤3，
則h(x1)-h(x2)=(

1

x1

+tx1-1)-(

1

x2

+tx2-1)=

(x2-x1)(1-tx1x2)

x1x2

，
要使h（x）在（0，3]上是單調(diào)遞減的，必須h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立．
∵x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜9，
∴1-tx₁x₂＞0恒成立，即t＜

1

x1x2

恒成立，
∵x1x2＞

1

9

，∴t≤

1

9

，
∴實數(shù)t的取值范圍是(-∞，

1

9

]．
（2）由mf（x）＜g₂（x），得mx²＜（-2x+1），①
∵m＞0且x∈(0，

1

3

]，
∴①式可化為m＜

1

x2

-

2

x

，②
要使②對任意x∈(0，

1

3

]恒成立，只需m＜(

1

x2

-

2

x

)min，x∈(0，

1

3

]，
∵

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1，
∴當(dāng)x=

1

3

時，y=

1

x2

-

2

x

取最小值3，
∴m＜3，
又m＞0，0＜m＜3．
故正數(shù)m的取值范圍是（0，3）．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)單調(diào)性的證明方法，考查了分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．