Question

設(shè)無窮數(shù)列的首項，前項和為（），且點在直線上（為與無關(guān)的正實數(shù)）．
（1）求證：數(shù)列（）為等比數(shù)列；
（2）記數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足，設(shè)，求數(shù)列的前項和；
（3）（理）若（1）中無窮等比數(shù)列（）的各項和存在，記，求函數(shù)的值域.

Answer 1

(1)證明見解析；(2)；(3)．

試題分析：(1)把已知條件變形為，要化為數(shù)列項的關(guān)系，一般方法是用代得，兩式相減，得，從而得前后項比為常數(shù)，只是還要注意看看是不是有，如有則可證得為等比數(shù)列；(2)由定義可知數(shù)列是等差數(shù)列，(是數(shù)列公差)，從而數(shù)列也是等差數(shù)列，其前和易得，這說明我們在求數(shù)列和時，最好能確定這個數(shù)列是什么數(shù)列；(3)首先無窮等比數(shù)列的和存在說明公比滿足，從而得出，無窮等比數(shù)列的和公式得，這是一次分式函數(shù)，其值域采用分離分式法，即，易得．
試題解析：（1）由已知，有，
當時，；         2分
當時，有，
兩式相減，得，即，
綜上，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；   4分
（2）由（1）知，，則
于是數(shù)列是公差的等差數(shù)列，即，        7分
則

=        10分
（3）（理）由解得：。         12分
         14分
，當時，，函數(shù)的值域為。      16分項和與的關(guān)系，等比數(shù)列的定義；(2)等差數(shù)列的前項和；(3)無窮等比數(shù)列的和及一次分式函數(shù)的值域．