Question

【題目】已知以點(diǎn)為圓心的圓C被直線截得的弦長(zhǎng)為．

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）求過(guò)與圓C相切的直線方程：

（3）若Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，QR，QS分別切圓C于R，S兩點(diǎn)．試問(wèn)：直線RS是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出恒過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)：若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）直線RS恒過(guò)定點(diǎn)

【解析】

（1）由弦長(zhǎng)可得,進(jìn)而求解即可；

（2）分別討論直線的斜率存在與不存在的情況,再利用圓心到直線距離等于半徑求解即可；

（3）由QR,QS分別切圓C于R,S兩點(diǎn),可知,在以為直徑的圓上,設(shè)為,則可得到以為直徑的圓的方程,與圓聯(lián)立可得,由求解即可

（1）由題,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,

則,

則弦長(zhǎng),解得,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí),直線方程為,圓心到直線距離為2,故此時(shí)相切；

當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為,即,

則,解得,

則直線方程為,即,

綜上,切線方程為或

（3）直線RS恒過(guò)定點(diǎn),

由題,,則,在以為直徑的圓上,

設(shè)為,

則以為直徑的圓的方程為:,

整理可得,

與圓:聯(lián)立可得:,

即,

令,解得,

故無(wú)論取何值時(shí),直線恒過(guò)定點(diǎn)