Question

7．設(shè)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線漸近線方程為$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，且c=2，已知點(diǎn)A（$1，\frac{1}{2}$）
（Ⅰ）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A的直線L交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn)，求直線L方程．

Answer 1

分析 （1）利用焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線漸近線方程為$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，且c=2，求出幾何量，即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用點(diǎn)差法，求出直線的斜率，即可求直線L方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，c=2，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入雙曲線方程，兩式相減，
結(jié)合點(diǎn)A（1，$\frac{1}{2}$）為線段MN的中點(diǎn)，可得2（x₁-x₂）-3（y₁-y₂），∴k=$\frac{2}{3}$，
∴直線L方程為y-$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$（x-1），即4x-6y-1=0．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．