Question

已知數(shù)列{a_n}，滿足a₁=2，a_n+1=

2an

an+2

，
（1）數(shù)列{

1

an

}是否為等差數(shù)列？說明理由．
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）對a_n+1=

2an

an+2

兩邊同時取倒數(shù)得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，利用等差數(shù)列的定義即可判斷；
（2）由（1）和等差數(shù)列的通項公式，求出{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，由a₁=2得，

1

a2

=

1

2

，
因為a_n+1=

2an

an+2

，所以兩邊同時取倒數(shù)得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以數(shù)列{

1

an

}是以

1

2

為首項、公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得

1

an

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
所以{a_n}的通項公式是a_n=

2

n

．

點評：本題考查等差數(shù)列的判斷方法：定義法，等差數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列遞推公式的化簡方法，這是�？嫉念}型．