n3+5n（n∈N*）能被哪些自然數(shù)整除？
考點(diǎn)：整除的基本性質(zhì)
專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：猜想：n3+5n可以被6整除，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
解答： 解：n=1時(shí)原式=6，n=2時(shí)原式=18，n=3時(shí)原式=42，n=4時(shí)原式=84，這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想：n3+5n可以被6整除．
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，13+5×1=6，命題顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，k3+5k能被6整除．當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+1）3+5（k+1）=k3+3k2+3k+1+5k+5=（k3+5k）+3k（k+1）+6，其
中兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積的3倍能被6整除，k3+5k，3k（k+1），6分別能被6整除，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．
據(jù)（1）（2），可知n3+5n可以被6整除．
點(diǎn)評(píng)：本題考查整除的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（
2i
1-i
）2=（　�。�
A、-2iB、-4i
C、2iD、4i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bx+c，且f（-1）=f（3），則（　�。�
A、f（-1）＜c＜f（1）
B、c＜f（-1）＜f（1）
C、f（1）＜f（-1）＜c
D、f（1）＜c＜f（-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O為原點(diǎn)，A，B是兩定點(diǎn)，
OA
=
a
，
OB
=
b
，若2
QA
=
AP
，2
QB
=
BR
，則
PR
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=g（x）+x2，曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為y=2x+1，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為（　�。�
A、2
B、4
C、-
1
4
D、-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，最小值為m，最大值為M，若m∈D且M∈D，則稱y=f（x），x∈D為“B函數(shù)”若f（x）=
1
2
x2-x+
3
2
，x∈[1，b]為“B函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}，滿足a1=2，an+1=
2an
an+2
，
（1）數(shù)列{
1
an
}是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由．
（2）求{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點(diǎn)，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求證：PC⊥平面DEF；
（2）求點(diǎn)A到平面PBD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知平面向量
a
=（2cos2x，sin2x），
b
=（cos2x，-2sin2x），f（x）=
a
•
b
，要得到y(tǒng)=sin2x+
3
cos2x的圖象，只需要將y=f（x）的圖象（　�。�
A、向左平行移動(dòng)
π
6
個(gè)單位
B、向右平行移動(dòng)
π
6
個(gè)單位
C、向左平行移動(dòng)
π
12
個(gè)單位
D、向右平行移動(dòng)
π
12
個(gè)單位

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