Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx-1．
（1）若a＞0，求f（x）在（0，e]上的最小值；
（2）若a=2e，求證：對x∈（0，e]都有

2e

x

+lnx≥3．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最小值；
（2）若a=2e，則f（x）=

2e

x

+lnx-1在（0，e]上單調(diào)遞減，從而可得f（x）≥f（e），化簡即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

x

+lnx-1，
∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①當(dāng)0＜a＜e時(shí)，
f（x）在（0，a]上單調(diào)遞減，在（a，e]上單調(diào)遞增；
f_min（x）=f（a）=1+lna-1=lna；
②a≥e時(shí)，
f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
f_min（x）=f（e）=

a

e

+1-1=

a

e

；
（2）證明：若a=2e，則f（x）=

2e

x

+lnx-1在（0，e]上單調(diào)遞減，
則

2e

x

+lnx-1≥f（e）=2+1-1，
故

2e

x

+lnx≥3．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．