Question

已知△ABC中，．設∠CBA=θ，BC=a，它的內接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上，D、G分別在AC、BC上．假設△ABC的面積為S，正方形DEFG的面積為T．用a，θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T；
設，試求f（θ）的最大值P，并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先在△ABC中利用邊角關系得出：AC=a•tgθ．進一步得到用a，θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積即可；
（2）由（1）可得：令．利用基本不等式求得最大值即可，最后判斷此時△ABC的形狀．
解答：解：（1）∵在△ABC中，∴∠CBA=θ，BC=a．∴AC=a•tgθ．
∴．…（2分）       設正方形DEFG邊長為m，
則 ，∴．            …（4分）
∴，
∴．   …（6分）
（2）由（1）可得：
…（9分）
令．
∵當，
∴當sin2θ=1時，u取得最小值，即f（θ）取得最大值．∴的最大值為．
此時．∴△ABC為等腰直角三角形．             …（12分）
點評：本小題主要考查在實際問題中建立三角函數模型、三角形的形狀判斷等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．