Question

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若曲線在與處的切線相互平行，求的值及切線斜率；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)的圖像C₁與函數(shù)的圖像C₂交于P、Q兩點(diǎn)，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C_1、C₂于點(diǎn)M、N，證明：C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不可能平行．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ；(Ⅲ)見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由已知條件“曲線在與處的切線相互平行”可知，曲線在這兩處的切線的斜率相等，求出曲線的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)求出的值及切線斜率；(Ⅱ)有已知條件“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”可知，在區(qū)間上恒成立，得到，則有，依據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，求得函數(shù)在區(qū)間的值域是，從而得到；(Ⅲ)用反證法，先假設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行，設(shè)，，則有，分別代入函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得①，結(jié)合P、Q兩點(diǎn)是函數(shù)的圖像C₁與函數(shù)的圖像C₂的交點(diǎn)，則坐標(biāo)滿足曲線方程，將①化簡(jiǎn)得到，設(shè)，，進(jìn)行等量代換得到，存在大于1的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減的，從而，得出矛盾.

試題解析：(Ⅰ)，

則，

∵在與處的切線相互平行，

∴，即，解得，

.

(Ⅱ)∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴在區(qū)間上恒成立，

則，即，

∵，∴，

∴.

(Ⅲ)，，

假設(shè)有可能平行，則存在使，

，

不妨設(shè)，，

則方程存在大于1的實(shí)根，設(shè)，

則，∴，這與存在使矛盾．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.反證法；4.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線切線的斜率；5.不等式恒成立問題