Question

設數(shù)列{a_n}的首項a₁=6，其前n項和為S_n，且a_n+1=3Sn-2ⁿ⁺¹，n∈N^*
（1）設b_n=S_n-2ⁿ，證明{b_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式
（2）求{

n

bn

}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=3S_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*，可得S_n+1-S_n=3Sn-2n+1，變形為Sn+1-2n+1=4(Sn-2n)，即可證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）

n

bn

=

n

4n

，利用“錯位相減法”及其等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵a_n+1=3S_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*，
∴S_n+1-S_n=3Sn-2n+1，
化為Sn+1-2n+1=4(Sn-2n)，
∴b_n+1=4b_n，
又b₁=S₁-2=a₁-2=6-2=4，
∴{b_n}為等比數(shù)列，
∴b_n=4×4^n-1=4ⁿ．
（2）

n

bn

=

n

4n

，
∴{

n

bn

}的前n項和T_n=

1

4

+

2

42

+

3

43

+…+

n

4n

，
∴

1

4

Tn=

1

42

+

2

43

+…+

n-1

4n

+

n

4n+1

，
∴

3

4

Tn=

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

-

n

4n+1

=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

4n+1

=

1

3

(1-

1

4n

)-

n

4n+1

，
∴T_n=

4

9

-

1+3n

9×4n

．

點評：本題考查了“錯位相減法”及其等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于中檔題．