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16.下列命題中是真命題的為( �。�
A.“存在x0∈R,x02+sinx0+ex0<1”的否定是“不存在x0∈R,x02+sinx0+ex0<1”
B.在△ABC中,“AB2+AC2>BC2”是“△ABC為銳角三角形”的充分不必要條件
C.任意x∈N,3x>1
D.存在x0∈(0,\frac{π}{2}),sinx0+cosx0=tanx0

分析 直接寫出命題的否定判斷A;由充分必要條件的判定方法判斷B;舉例說明C錯(cuò)誤;利用輔助角公式化積,結(jié)合三角函數(shù)的圖象判斷D.

解答 解:對(duì)于A,“存在x0∈R,x02+sinx0+ex0<1”的否定是“存在x0∈R,x02+sinx0+ex0≥1”,故A為假命題;
對(duì)于B,∵AB2+AC2>BC2?\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}>0,即cosA>0,
∵0<A<π,故A為銳角,但未必有△ABC為銳角三角形;反之,若△ABC為銳角三角形,則0<A<\frac{π}{2},故cosA>0,即AB2+AC2>BC2,
∴“AB2+AC2>BC2”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件,故B為假命題;
對(duì)于C,當(dāng)x=0時(shí),30=1,故C為假命題;
對(duì)于D,∵sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4}),故命題轉(zhuǎn)化為存在x0∈(0,\frac{π}{2}),\sqrt{2}sin({x}_{0}+\frac{π}{4})=tan{x}_{0},
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y=\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})與y=tanx在[0,\frac{π}{2}]上的圖象如圖:
可知y=\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})與y=tanx在[0,\frac{π}{2}]上必有交點(diǎn),即存在x0∈(0,\frac{π}{2}),\sqrt{2}sin({x}_{0}+\frac{π}{4})=tan{x}_{0}
故D為真命題.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了充分必要條件的判定方法,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),是中檔題.

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