Question

函數f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的部分圖象如圖所示，該圖象與y軸交于點F（0，1），與x軸交于點B，C，M為最高點，且△MBC的面積為π．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（α）=

8

5

，α∈(

π

2

，π)，求sin(α+

5

12

π)的值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由△MBC的面積為π可得BC長，進而求出周期，確定ω的值，再由函數f（x）的圖象與y軸交于點F（0，1）及0＜ϕ＜

π

2

，可得φ的值，進而可得函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（α）=

8

5

，α∈(

π

2

，π)，可得sin（α+

π

6

）=

4

5

，cos（α+

π

6

）=-

3

5

，進而由sin(α+

5

12

π)=sin[（α+

π

6

）+

π

4

]，結合兩角和的正弦公式，可得答案．

解答： 解：（I）∵函數f（x）=2sin（ωx+φ）的最大值為2，
故△MBC的面積S=

1

2

×2×BC=π，
∴函數f（x）的周期T=2π．
即ω=1；
由函數f（x）的圖象與y軸交于點F（0，1），
故f（0）=2sinφ=1，得sinφ=

1

2

，
∵0＜ϕ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（x+

π

6

）．
（Ⅱ）∵f（α）=2sin（α+

π

6

）=

8

5

，α∈(

π

2

，π)，
∴sin（α+

π

6

）=

4

5

，cos（α+

π

6

）=-

3

5

，
∴sin(α+

5

12

π)=sin[（α+

π

6

）+

π

4

]=

2

2

×（

4

5

-

3

5

）=

2

10

．

點評：本題考查的知識點是正弦型函數的圖象和性質，其中根據已知確定ω和φ的值，求出函數解析式，是解答的關鍵．