Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ lnx－x＋ ，其中a>0.
（1）若f(x)在(0，＋∞)上存在極值點，求a的取值范圍；
（2）設a∈(1，e]，當x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)時，記f(x2)－f(x1)的最大值為M(a)．那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′(x)＝ －1－ ＝ ，x∈(0，＋∞)．
①當a＝1時，f′(x)＝－ ≤0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，不存在極值點；
②當a>0且a≠1時，f′(a)＝f′ ＝0.經(jīng)檢驗a， 均為f(x)的極值點．
∴a∈(0,1)∪(1，＋∞)．
（2）解：當a∈(1，e]時，0< <1<a.由(1)知，當f′(x)>0時， <x<a；當f′(x)<0時，x>a或x< .
∴f(x)在 上單調遞減，在 上單調遞增，在(a，＋∞)上單調遞減．
∴對x1∈(0,1)，有f(x1)≥f ；對x2∈(1，＋∞)，有f(x2)≤f(a)．∴[f(x2)－f(x1)]max＝f(a)－f .
∴M(a)＝f(a)－f ＝ － ＝2 ，a∈(1，e]．
M′(a)＝2 lna＋2 ＋2 ＝2 lna，a∈(1，e]．∴M′(a)>0，即M(a)在(1，e]上單調遞增．
∴M(a)max＝M(e)＝2 ＋2 ＝ .∴M(a)存在最大值 .
【解析】(1)首先求出原函數(shù)的導函數(shù)，結合a的取值范圍討論導函數(shù)的正負情況即可得出原函數(shù)的單調性以及極值點的存在情況，由題意即可得出a的取值范圍。(2)根據(jù)題意求出原函數(shù)的導函數(shù)，由x的取值范圍討論得出導函數(shù)的正負情況，即可得到原函數(shù)的單調性再結合單調性的定義即可證明出M(a)存在最大值。