Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱DD₁上的動點，F，G分別是BD，BB₁的中點．
（1）求證：EF⊥CF．
（2）當點E是棱DD₁上的中點時，求異面直線EF與CG所成角的余弦值．
（3）當二面角E-CF-D達到最大時，求其余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證明CF⊥面BB₁D₁D，即可證明EF⊥CF．
（2）連接A₁E，AF．證明∠A₁EF或其補角為異面直線EF與CG所成角，求出△A₁EF的三邊，利用余弦定理，可求異面直線EF與CG所成角的余弦值．
（3）確定∠EFD為二面角E-CF-D的平面角，當E與D₁重合時，二面角E-CF-D達到最大，利用余弦定理求其余弦值．

解答： （1）證明：∵F為BD的中點，∴CF⊥BD…（1分）
又∵DD₁⊥面ABCD，∴DD₁⊥CF…（2分）
∵DD₁∩BD=D，
∴CF⊥面BB₁D₁D…（3分）
∵EF?面BB₁D₁D，∴CF⊥EF…（4分）；
（2）解：連接A₁E，AF．
當點E是棱DD₁上的中點時，因為G為BB₁的中點，由正方體的性質知A₁E∥CG，
故∠A₁EF或其補角為異面直線EF與CG所成角．…（5分）
在Rt△DEF中，EF=

( 1 2 )2+( 2 2 )2

=

3 4

=

3

2

…（6分）
在Rt△A₁D₁E中，A1E=

1+( 1 2 )2

=

5

2

…（7分）
在Rt△A₁AF中，A1F=

1+( 2 2 )2

=

6

2

…（8分）
故在△A₁EF中，cos∠A1EF=

A1E2+EF2-A1F2

2A1E•EF

=

5 4 + 3 4 - 6 4

2• 5 2 • 3 2

=

15

15

，
∴異面直線EF與CG所成角的余弦值為

15

15

…（9分）；
（3）解：∵CF⊥面BB₁D₁D，
∴CF⊥EF，CF⊥DF…（10分）
故∠EFD為二面角E-CF-D的平面角，…（11分）
當E與D₁重合時，二面角E-CF-D達到最大．…（12分）
此時，DF=

2

2

，DD1=1，EF=

6

2

…（13分）
∴cos∠EFD=

DF

EF

=

2 2

6 2

=

3

3

，即當二面角E-CF-D達到最大時其余弦值為

3

3

…（14分）．

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查線線角，面面角，考查余弦定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．