Question

已知函數(shù)f（a^x）=-x²+2x+2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若a=2，x∈[

1

4

，16]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，利用指數(shù)和對(duì)數(shù)之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）設(shè)t=a^x，則x=log_at，
∵f（a^x）=-x²+2x+2．
∴f（t）=-（log_at）²+2log_at+2．
即f（x）=-（log_ax）²+2log_ax+2．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=-（log₂x）²+2log₂x+2．
設(shè)m=log₂x，若x∈[

1

4

，16]，
則m∈[log₂

1

4

，log₂16]，即m∈[-2，4]，
則函數(shù)f（x）等價(jià)為y=g（m）=-m²+2m+2=-（m-1）²+3，
∵m∈[-2，4]，
∴當(dāng)m=4或-2時(shí)，g（m）取得最小值-6，
當(dāng)m=1時(shí)，g（m）取得最大值為3，
即-6≤y≤3，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-6，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式以及函數(shù)值域的求法，利用換元法將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．