Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若

S 2n

S n

恒為非零常數(shù)k，則稱數(shù)列{a_n}為“和諧數(shù)列”．
（1）公差不為零的等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，且為“和諧數(shù)列”，求k的值及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）正項(xiàng)數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且2T_n=x_n（x_n+1），（n∈N^*），判斷數(shù)列{x_n}是否為“和諧數(shù)列”，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出4dn+4-2d=kdn+2k-kd，解得

k=4 d=2

，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由2T_n=x_n（x_n+1），得2T_n=x_n²+x_n，由此能求出{x_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，從而得到x_n=n，數(shù)列{x_n}不是“和諧數(shù)列”．

解答： 解：（1）設(shè){b₁}的公差為d，則Sn=n+

n(n-1)

2

d，S_2n=

2n(2n-1)

2

d，
由

S2n

Sn

=k，得

2n+ 2n(2n-1) 2 d

n+ n(n-1) 2 d

=k，
即

4+2(2n-1)d

2+(n-1)d

=k，
∴4dn+4-2d=kdn+2k-kd，
∴

4d=kd 4-2d=2k-kd

，
又d≠0，∴

k=4 d=2

，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由2T_n=x_n（x_n+1），得2T_n=x_n²+x_n，①
當(dāng)n=1時(shí)，2x1=x12+x1 ，又x_n＞0，∴x₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2T_n-1=x_n-1²+x_n-1，②
①-②，得：2xn=xn2+xn-xn-12-xn-1，
即（x_n+x_n-1）（x_n-x_n-1-1）=0，又x_n＞0，
∴x_n-x_n-1=1，
∴{x_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴x_n=n，
∵

T3

T1

=3≠

10

3

=

T4

T2

，
∴數(shù)列{x_n}不是“和諧數(shù)列”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查“和諧數(shù)列”的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．