Question

已知點A（-2，3）在拋物線C：y²=2px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則|BF|的值為（　�。�

• A、3
• B、4
• C、5
• D、10

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意先求出準(zhǔn)線方程x=-2，再求出p，從而得到拋物線方程，寫出第一象限的拋物線方程，設(shè)出切點，并求導(dǎo)，得到切線AB的斜率，再由兩點的斜率公式得到方程，解出方程求出切點，再由兩點的距離公式可求得．

解答： 解：∵點A（-2，3）在拋物線C：y²=2px的準(zhǔn)線上，
即準(zhǔn)線方程為：x=-2，
∴p＞0，-

p

2

=-2即p=4，
∴拋物線C：y²=8x，在第一象限的方程為y=2

2

x

，
設(shè)切點B（m，n），則n=2

2

m

，
又導(dǎo)數(shù)y′=2

2

•

1

2

1

x

，則在切點處的斜率為

2

m

，
∴

n-3

m+2

=

2

m

即

m

m+2

2

=2

2

-3

m

，
解得：

m

=2

2

或（

2

2

（舍去），
∴切點B（8，8），又F（2，0），
∴|BF|=

(8-2)2+82

=10
故選B．

點評：本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時考查直線與拋物線相切，運用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率等，是一道基礎(chǔ)題．